Francesco D’Isa
Per apprezzare un paradosso ci si deve entrare, o meglio, cascare. Dato che il nostro gioco mentale implica la presenza di un tempio, è possibile giocare un po’ con l’immaginazione.
Apri gli occhi e ti trovi in una pianura sassosa. È circa mezzogiorno, il sole brucia la pelle e il suolo. Non molto lontano scorgi una muraglia bianca, che sembra superare il cielo in altezza. Ti avvicini e scopri che quel che credevi essere un muro è in realtà una fila sterminata di colonne, che si estende senza fine sia per lunghezza che per altezza. La curiosità ti spinge in avanti e dopo un breve tragitto ti trovi ai piedi della gradinata. Alzi lo sguardo e scopri che le colonne, oltre che innumerevoli, sono anche altissime, tanto che non puoi vederne la cima. Non ti è difficile immaginare che il tempio sia composto da infinite colonne [1], ma ipotizzare che queste siano anche infinitamente alte ti pone davanti a un interrogativo: «Hanno un capitello?». Se lo avessero sarebbero finite, se non lo avessero non sarebbero colonne. (E inoltre: Se ti arrampicassi in eterno su di una colonna non sfioreresti il capitello nemmeno da lontano, ma se lo facessi a una velocità infinita, lo raggiungeresti?).
Questo, in breve, è l’enigma. Le poche righe che seguono servono invece a non affrettare i tempi, permetterti di rifletterci e cascare nell’ennesima trappola dell’infinito. D’altra parte si tratta di un’idea che invischia da sempre le menti; Borges scriveva che è un concetto che corrompe e altera tutti gli altri, Hilbert che: il chiarimento definitivo della natura dell’infinito […] è necessario per la dignità stessa dell’intelletto umano e questo per citare soltanto due tra i molti che sono caduti nel tranello.
La questione di cui sopra – adesso è passato abbastanza tempo – ha una specie di “soluzione”. In un tempio dalle infinite colonne, infatti, si considera la colonna come un’unità indivisibile, mentre se pensiamo a una colonna infinitamente alta la consideriamo come l’insieme delle sue parti, in cui a essere interminabile è solo il fusto. La contraddizione si genera perché la colonna è finita per definizione e oltre al fusto possiede una base e un capitello [2]. In un certo senso si potrebbe definire “una questione di prospettiva”; il capitello è irraggiungibile “all’interno” della colonna, ma nel tempio composto da colonne di altezza infinita la colonna è soltanto uno degli (infiniti) elementi, il cui nuovo limite è il tempio.
Si propone un problema simile al paradosso di Zenone, che si può applicare, pena il mal di testa, a una grande varietà di cose. Per restare nella metafora architettonica si può considerare, ad esempio, un mattone come l’unità di costruzione di un muro; se il mattone è divisibile in un mezzo mattone però, e poi in metà di mezzo mattone, metà di metà di mezzo mattone e così via, all’infinito, il muro sarà composto da mattoni inesistenti. Cadere o meno in questo abisso è anche una nostra responsabilità, perché siamo noi a “chiudere o aprire” l’unità di partenza, anche se infinita: mattone, colonna, tempio…
Una delle trappole del tempio, infatti, risiede nella differenza tra continuo e discreto, in cui sarebbe meglio non addentrarsi senza la compagnia di un matematico. In una definizione intuitiva ma informale, un oggetto è discreto se è costituito da elementi isolati, cioè non contigui tra loro, mentre è continuo se contiene infiniti elementi e se tra questi non vi sono spazi vuoti. Ci sono così infiniti continui (come i numeri reali, che hanno infiniti numeri tra ogni loro elemento) e infiniti discreti (come i numeri naturali, dove, per fare un esempio, tra 0 e 1 non ci sono altri numeri).
Un oggetto finito, però, come il passo di Zenone, un mattone, una colonna o un numero, che sia o meno suddivisibile in infinite unità, è un’unità a sua volta e in quanto tale è isolato, discreto. Come dire, la nostra prospettiva sull’infinito è finita, e ogniqualvolta estraiamo una goccia da questo mare si “discretizza”. È dunque da un punto di vista discreto, che, mediante una qualche regola, da un infinito si ottiene un passo, un mattone, una colonna o il numero 12,9297.
Insomma, sembra che ci siano molti modi per dilettarsi con l’infinito e nessuno per catturarlo, in quanto i limiti li sfugge per definizione. D’altra parte non c’è colonna senza capitello, numeri senza ∞, limiti senza illimitato e via dicendo, dunque è difficile far finta di nulla. Di certo chi cerca un “infinito autentico”, anche se ha l’abilità di un Hilbert, un Leibniz o un Cantor [3] (che ci è andato più vicino di tutti), dovrà ammettere che questo non sarà mai “capitellabile”.
